数学建模三剑客 MSN，数学建模三剑客msn,在众多的数学建模辅助工具
数学建模三剑客 MSN，数学建模三剑客msn,在众多的数学建模辅助工具
前言
不管是不是巴萨的球迷，只要你喜欢足球，就一定听说过梅西(Messi)、苏亚雷斯(Suarez)和内马尔(Neymar)这个MSN组合。在众多的数学建模辅助工具中，也有一个犀利无比的MSN组合，他们就是python麾下大名鼎鼎的 Matplotlib + Scipy + Numpy三剑客。
本文是我整理的MSN学习笔记，有些理解可能比较肤浅，甚至是错误的。如果因此误导了某位看官，在工作中造成重大失误或损失，我顶多只能赔偿一顿饭——还得是我们楼下的十元盒饭。特此声明。
文中代码均从我的这台时不时出点问题、闹个情绪的Yoga 3 pro上复制而来，这意味着所有的代码均可在下面的运行环境中顺利运行：
- pyhton 2.7.8
- numpy 1.11.1
- scipy 0.16.1
- matplotlib 1.5.1
三剑客之Numpy
numpy是一个开源的python科学计算库，包含了很多实用的数学函数，涵盖线性代数、傅里叶变换和随机数生成等功能。最初的numpy其实是scipy的一部分，后来才从scipy中分离出来。
numpy不是python的标准库，需要单独安装。假定你的运行环境已经安装了python包管理工具pip，numpy的安装就非常简单：
pip install numpy
数组对象
ndarray是多维数组对象，也是numpy最核心的对象。在numpy中，数组的维度(dimensions)叫做轴(axes)，轴的个数叫做秩(rank)。通常，一个numpy数组的所有元素都是同一种类型的数据，而这些数据的存储和数组的形式无关。
下面的例子，创建了一个三维的数组（在导入numpy时，一般都简写成np）。
import numpy as np a = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
数据类型
numpy支持的数据类型主要有布尔型(bool)、整型(integrate)、浮点型(float)和复数型(complex)，每一种数据类型根据占用内存的字节数又分为多个不同的子类型。常见的数据类型见下表。
| 类型 | 描述 |
|---|---|
| bool | 用1位存储的布尔类型（值为TRUE或FALSE） |
| inti | 由所在平台决定其精度的整数（一般为int32或int64） |
| int8 | 1字节整数 |
| int16 | 2字节整数 |
| int32 | 4字节整数 |
| int64 | 8字节整数 |
| uint8 | 1字节无符号整数 |
| uint16 | 2字节无符号整数 |
| uint32 | 4字节无符号整数 |
| uint64 | 8字节无符号整数 |
| float16 | 半精度浮点数（16位），1位符号，5位指数，10位尾数 |
| float32 | 单精度浮点数（32位），1位符号，8位指数，23位尾数 |
| float64/float | 双精度浮点数（64位），1位符号，11位指数，52位尾数 |
| complex64 | 复数，分别用32位表示实部和虚部 |
| complex128/complex | 复数，分别用64位表示实部和虚部 |
创建数组
通常，我们用np.array()创建数组。如果仅仅是创建一维数组，也可以使用np.arange()或者np.linspace()的方法。np.zeros()、np.ones()、np.eye()则可以构造特殊的数据。np.random.randint()和np.random.random()则可以构造随机数数组。
>>> np.array([[1,2,3],[4,5,6]]) # 默认元素类型为int32
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]])
>>> np.array([[1,2,3],[4,5,6]], dtype=np.int8) # 指定元素类型为int8
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]], dtype=int8)
>>> np.arange(5) # 默认元素类型为int32
array([0, 1, 2, 3, 4])
>>> np.arange(3,8, dtype=np.int8) # 指定元素类型为int8
array([3, 4, 5, 6, 7], dtype=int8)
>>> np.arange(12).reshape(3,4) # 改变shape
array([[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]])
>>> np.linspace(1,2,5) # 从1到2生成5个浮点数
array([ 1. , 1.25, 1.5 , 1.75, 2. ])
>>> np.zeros((2,3)) # 全0数组
array([[ 0., 0., 0.],
[ 0., 0., 0.]])
>>> np.ones((2,3)) # 全1数组
array([[ 1., 1., 1.],
[ 1., 1., 1.]])
>>> np.eye(3) # 主对角线元素为1其他元素为0
array([[ 1., 0., 0.],
[ 0., 1., 0.],
[ 0., 0., 1.]])
>>> np.random.random((2,3)) # 生成[0,1)之间的随机浮点数
array([[ 0.84731148, 0.8222318 , 0.85799278],
[ 0.59371558, 0.92330741, 0.04518351]])
>>> np.random.randint(0,10,(3,2)) # 生成[0,10)之间的随机整数
array([[2, 4],
[8, 3],
[8, 5]])
构造复杂数组
很多时候，我们需要从简单的数据结构，构造出复杂的数组。例如，用一维的数据生成二维格点。
重复数组: tile
>>> a = np.arange(5)
>>> a
array([0, 1, 2, 3, 4])
>>> np.tile(a, 2)
array([0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4])
>>> np.tile(a, (3,2))
array([[0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4],
[0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4],
[0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4]])
一维数组网格化: meshgrid
>>> a = np.arange(5)
>>> b = np.arange(5,10)
>>> np.meshgrid(a,b)
[array([[0, 1, 2, 3, 4],
[0, 1, 2, 3, 4],
[0, 1, 2, 3, 4],
[0, 1, 2, 3, 4],
[0, 1, 2, 3, 4]]), array([[5, 5, 5, 5, 5],
[6, 6, 6, 6, 6],
[7, 7, 7, 7, 7],
[8, 8, 8, 8, 8],
[9, 9, 9, 9, 9]])]
>>>
指定范围和分割方式的网格化: mgrid
>>> np.mgrid[0:1:2j, 1:2:3j]
array([[[ 0. , 0. , 0. ],
[ 1. , 1. , 1. ]],
[[ 1. , 1.5, 2. ],
[ 1. , 1.5, 2. ]]])
>>> np.mgrid[0:1:0.3, 1:2:0.4]
array([[[ 0. , 0. , 0. ],
[ 0.3, 0.3, 0.3],
[ 0.6, 0.6, 0.6],
[ 0.9, 0.9, 0.9]],
[[ 1. , 1.4, 1.8],
[ 1. , 1.4, 1.8],
[ 1. , 1.4, 1.8],
[ 1. , 1.4, 1.8]]])
上面的例子中用到了虚数。构造虚数的方法如下：
>>> complex(2,5) (2+5j)
数组的属性
numpy的数组对象除了一些常规的属性外，也有几个类似转置、扁平迭代器等看起来更像是方法的属性。扁平迭代器也许是遍历多维数组的一个简明方法，下面的代码给出了一个例子。
>>> a = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
>>> a.dtype # 数组元素的数据类型
dtype('int32')
>>> a.dtype.itemsize # 数组元素占据的内存字节数
4
>>> a.itemsize # 数组元素占据的内存字节数
4
>>> a.shape # 数组的维度
(2, 3)
>>> a.size # 数组元素个数
6
>>> a.T # 数组行变列，类似于transpose()
array([[1, 4],
[2, 5],
[3, 6]])
>>> a.flat # 返回一个扁平迭代器，用于遍历多维数组
<numpy.flatiter object at 0x037188F0>
>>> for item in a.flat:
print item
1
2
...
改变数组维度
numpy数组的存储顺序和数组的维度是不相干的，因此改变数组的维度是非常便捷的操作，除resize()外，这一类操作不会改变所操作的数组本身的存储顺序。
>>> a = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
>>> a.shape # 查看数组维度
(2, 3)
>>> a.reshape(3,2) # 返回3行2列的数组
array([[1, 2],
[3, 4],
[5, 6]])
>>> a.ravel() # 返回一维数组
array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
>>> a.transpose() # 行变列（类似于矩阵转置）
array([[1, 4],
[2, 5],
[3, 6]])
>>> a.resize((3,2)) # 类似于reshape，但会改变所操作的数组
>>> a
array([[1, 2],
[3, 4],
[5, 6]])
索引和切片
对于一维数组的索引和切片，numpy和python的list一样，甚至更灵活。
a = np.arange(9) >>> a[-1] # 最后一个元素 8 >>> a[2:5] # 返回第2到第5个元素 array([2, 3, 4]) >>> a[:7:3] # 返回第0到第7个元素，步长为3 array([0, 3, 6]) >>> a[::-1] # 返回逆序的数组 array([8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0])
假设有一栋2层楼，每层楼内的房间都是3排4列，那我们可以用一个三维数组来保存每个房间的居住人数（当然，也可以是房间面积等其他数值信息）。
>>> a = np.arange(24).reshape(2,3,4) # 2层3排4列
>>> a
array([[[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]],
[[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19],
[20, 21, 22, 23]]])
>>> a[1][2][3] # 虽然可以这样
23
>>> a[1,2,3] # 但这才是规范的用法
23
>>> a[:,0,0] # 所有楼层的第1排第1列
array([ 0, 12])
>>> a[0,:,:] # 1楼的所有房间，等价与a[0]或a[0,...]
array([[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]])
>>> a[:,:,1:3] # 所有楼层所有排的第2到4列
array([[[ 1, 2],
[ 5, 6],
[ 9, 10]],
[[13, 14],
[17, 18],
[21, 22]]])
>>> a[1,:,-1] # 2层每一排的最后一个房间
array([15, 19, 23])
数组合并
数组合并除了下面介绍的水平合并、垂直合并、深度合并外，还有行合并、列合并，以及concatenate()等方式。假如你比我还懒，那就只了解前三种方法吧，足够用了。
>>> a = np.arange(9).reshape(3,3)
>>> b = np.arange(9,18).reshape(3,3)
>>> a
array([[0, 1, 2],
[3, 4, 5],
[6, 7, 8]])
>>> b
array([[ 9, 10, 11],
[12, 13, 14],
[15, 16, 17]])
>>> np.hstack((a,b)) # 水平合并
array([[ 0, 1, 2, 9, 10, 11],
[ 3, 4, 5, 12, 13, 14],
[ 6, 7, 8, 15, 16, 17]])
>>> np.vstack((a,b)) # 垂直合并
array([[ 0, 1, 2],
[ 3, 4, 5],
[ 6, 7, 8],
[ 9, 10, 11],
[12, 13, 14],
[15, 16, 17]])
>>> np.dstack((a,b)) # 深度合并
array([[[ 0, 9],
[ 1, 10],
[ 2, 11]],
[[ 3, 12],
[ 4, 13],
[ 5, 14]],
[[ 6, 15],
[ 7, 16],
[ 8, 17]]])
数组拆分
拆分是合并的逆过程，概念是一样的，但稍微有一点不同：
>>> a = np.arange(9).reshape(3,3)
>>> np.hsplit(a, 3) # 水平拆分，返回list
[array([[0],
[3],
[6]]), array([[1],
[4],
[7]]), array([[2],
[5],
[8]])]
>>> np.vsplit(a, 3) # 垂直拆分，返回list
[array([[0, 1, 2]]), array([[3, 4, 5]]), array([[6, 7, 8]])]
>>> a = np.arange(27).reshape(3,3,3)
>>> np.dsplit(a, 3) # 深度拆分，返回list
[array([[[ 0],
[ 3],
[ 6]],
[[ 9],
[12],
[15]],
[[18],
[21],
[24]]]), array([[[ 1],
[ 4],
[ 7]],
[[10],
[13],
[16]],
[[19],
[22],
[25]]]), array([[[ 2],
[ 5],
[ 8]],
[[11],
[14],
[17]],
[[20],
[23],
[26]]])]
数组运算
数组和常数的四则运算，是数组的每一个元素分别和常数运算；数组和数组的四则运算则是两个数组对应元素的运算（两个数组有相同的shape，否则抛出异常）。
>>> a = np.arange(4, dtype=np.float32).reshape(2,2)
>>> b = np.arange(4, 8, dtype=np.float32).reshape(2,2)
>>> a+2 # 数组和常数可以进行四则运算
array([[ 2., 3.],
[ 4., 5.]], dtype=float32)
>>> a/b # 数组和数组可以进行四则运算
array([[ 0. , 0.2 ],
[ 0.33333334, 0.42857143]], dtype=float32)
>>> a == b # 最神奇的是，数组可以判断对应元素是否相等
array([[False, False],
[False, False]], dtype=bool)
>>> (a == b).all() # 判断数组是否相等
False
特别提示：如果想对数组内符合特定条件的元素做特殊处理，下面的代码也许有用。
>>> a = np.arange(6).reshape((2,3))
>>> a
array([[0, 1, 2],
[3, 4, 5]])
>>> (a>2)&(a<=4)
array([[False, False, False],
[ True, True, False]], dtype=bool)
>>> a[(a>2)&(a<=4)]
array([3, 4])
>>> a[(a>2)&((a<=4))] += 10
>>> a
array([[ 0, 1, 2],
[13, 14, 5]])
数组方法和常用函数
数组对象本身提供了计算算数平均值、求最大最小值等内置方法，numpy也提供了很多实用的函数。为了缩减篇幅，下面的代码仅以一维数组为例，展示了这些方法和函数用法。事实上，大多数情况下这些方法和函数对于多维数组同样有效，只有少数例外，比如compress函数。
>>> a = np.array([3,2,4]) >>> a.sum() # 所有元素的和 9 >>> a.prod() # 所有元素的乘积 24 >>> a.mean() # 所有元素的算数平均值 3.0 >>> a.max() # 所有元素的最大值 4 >>> a.min() # 所有元素的最小值 2 >>> a.clip(3,4) # 小于3的元素替换为3，大于4的元素替换为4 array([3, 3, 4]) >>> a.compress(a>2) # 返回大于2的元素组成的数组 array([3, 4]) >>> a.tolist() # 返回python的list [3, 2, 4] >>> a.var() # 计算方差（元素与均值之差的平方的均值） 0.66666666666666663 >>> a.std() # 计算标准差（方差的算术平方根） 0.81649658092772603 >>> a.ptp() # 返回数组的最大值和最小值之差 2 >>> a.argmin() # 返回最小值在扁平数组中的索引 1 >>> a.argmax() # 返回最大值在扁平数组中的索引 2 >>> np.where(a == 2) # 返回所有值为2的元素的索引 (array([1]),) >>> np.diff(a) # 返回相邻元素的差 array([-1, 2]) >>> np.log(a) # 返回对数数组 array([ 1.09861229, 0.69314718, 1.38629436]) >>> np.exp(a) # 返回指数数组 array([ 20.08553692, 7.3890561 , 54.59815003]) >>> np.sqrt(a) # 返回开方数组 array([ 1.73205081, 1.41421356, 2. ]) >>> np.msort(a) # 数组排序 array([2, 3, 4]) >>> a = np.array([1,4,7]) >>> b = np.array([8,5,2]) >>> np.maximum(a, b) # 返回多个数组中对应位置元素的最大值数组 array([8, 5, 7]) >>> np.minimum(a, b) # 返回多个数组中对应位置元素的最小值数组 array([1, 4, 2]) >>> np.true_divide(a, b) # 对整数实现真正的数学除法运算 array([ 0.125, 0.8 , 3.5 ])
矩阵对象
matrix是矩阵对象，继承自ndarray类型，因此含有ndarray的所有数据属性和方法。不过，当你把矩阵对象当数组操作时，需要注意以下几点：
- matrix对象总是二维的，即使是展平（ravel函数）操作或是成员选择，返回值也是二维的
- matrix对象和ndarray对象混合的运算总是返回matrix对象
创建矩阵
matrix对象可以使用一个Matlab风格的字符串来创建（以空格分隔列，以分号分隔行的字符串），也可以用数组来创建。
>>> np.mat('1 4 7; 2 5 8; 3 6 9')
matrix([[1, 4, 7],
[2, 5, 8],
[3, 6, 9]])
>>> np.mat(np.arange(1,10).reshape(3,3))
matrix([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
矩阵的特有属性
矩阵有几个特有的属性使得计算更加容易，这些属性有：
>>> m = np.mat(np.arange(1,10).reshape(3,3))
>>> m
matrix([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
>>> m.T # 返回自身的转置
matrix([[1, 4, 7],
[2, 5, 8],
[3, 6, 9]])
>>> m.H # 返回自身的共轭转置
matrix([[1, 4, 7],
[2, 5, 8],
[3, 6, 9]])
>>> m.I # 返回自身的逆矩阵
matrix([[ -4.50359963e+15, 9.00719925e+15, -4.50359963e+15],
[ 9.00719925e+15, -1.80143985e+16, 9.00719925e+15],
[ -4.50359963e+15, 9.00719925e+15, -4.50359963e+15]])
>>> m.A # 返回自身数据的二维数组的一个视图
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
矩阵乘法
对ndarray对象而言，星号是按元素相乘，dot()函数则当作矩阵相乘。对于matrix对象来说，星号和dot()函数都是矩阵相乘。特别的，对于一维数组，dot()函数实现的是向量点乘（结果是标量），但星号实现的却不是差乘。
>>> a = np.array([1,2,3])
>>> b = np.array([4,5,6])
>>> a*b # 一维数组，元素相乘
array([ 4, 10, 18])
>>> np.dot(a,b) # 一维数组，元素相乘再求和
32
>>> a = np.array([[1,2],[3,4]])
>>> b = np.array([[5,6],[7,8]])
>>> a*b # 多维数组，元素相乘
array([[ 5, 12],
[21, 32]])
>>> np.dot(a,b) # 多维数组，实现的是矩阵相乘
array([[19, 22],
[43, 50]])
>>> m = np.mat(a)
>>> n = np.mat(b)
>>> np.dot(m,n) # 矩阵相乘
matrix([[19, 22],
[43, 50]])
>>> m*n # 矩阵相乘
matrix([[19, 22],
[43, 50]])
线性代数模块
numpy.linalg 是numpy的线性代数模块，可以用来解决逆矩阵、特征值、线性方程组以及行列式等问题。
计算逆矩阵
尽管matrix对象本身有逆矩阵的属性，但用numpy.linalg模块求解矩阵的逆，也是非常简单的。
m = np.mat('0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8')
mi = np.linalg.inv(m) # mi即为m的逆矩阵。何以证明？
m * mi # 矩阵与其逆矩阵相乘，结果为单位矩阵
matrix([[ 1., 0., 0.],
[ 0., 1., 0.],
[ 0., 0., 1.]])
计算行列式
如何计算行列式，我早已经不记得了，但手工计算行列式的痛苦，我依然记忆犹新。现在好了，你在手机上都可以用numpy轻松搞定（前提是你的手机上安装了python + numpy）。
m = np.mat('0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8')
np.linalg.det(m) # 什么？这就成了？
2.0
计算特征值和特征向量
截至目前，我的工作和特征值、特征向量还有没任何关联。记录这一节，纯粹是为了我女儿，她正在读数学专业。
m = np.mat('0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8')
>>> np.linalg.eigvals(m) # 计算特征值
array([ 7.96850246, -0.48548592, 0.51698346])
>>> np.linalg.eig(m) # 返回特征值及其对应特征向量的元组
(array([ 7.96850246, -0.48548592, 0.51698346]), matrix([[ 0.26955165, 0.90772191, -0.74373492],
[ 0.36874217, 0.24316331, -0.65468206],
[ 0.88959042, -0.34192476, 0.13509171]]))
求解线性方程组
有线性方程组如下：
x – 2y + z = 0
2y -8z = 8
-4x + 5y + 9z = -9
求解过程如下：
>>> A = np.mat('1 -2 1; 0 2 -8; -4 5 9')
>>> b = np.array([0, 8, -9])
>>> np.linalg.solve(A, b)
array([ 29., 16., 3.]) # x = 29, y = 16, z = 3
三剑客之Matplotlib
matplotlib 是python最著名的绘图库，它提供了一整套和Matlab相似的命令API，十分适合交互式地进行制图。而且也可以方便地将它作为绘图控件，嵌入GUI应用程序中。matplotlib 可以绘制多种形式的图形包括普通的线图，直方图，饼图，散点图以及误差线图等；可以比较方便的定制图形的各种属性比如图线的类型，颜色，粗细，字体的大小等；它能够很好地支持一部分 TeX 排版命令，可以比较美观地显示图形中的数学公式。
pylot介绍
Matplotlib 包含了几十个不同的模块， 如 matlab、mathtext、finance、dates 等，而 pylot 则是我们最常用的绘图模块，这也是本文介绍的重点。
中文显示问题的解决方案
有很多方法可以解决此问题，但下面的方法恐怕是最简单的解决方案了（我只在windows平台上测试过，其他平台请看官自测）。如果想了解更多，也可以参考我N年前的一片博文：matplotlib显示中文的解决方案
>>> from pylab import mpl >>> mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong'] # 指定默认字体 >>> mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解决保存图像时'-'显示为方块的问题
绘制最简单的图形
>>> import numpy as np >>> import matplotlib.pyplot as plt >>> x = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01) >>> y = np.sin(x) >>> plt.plot(x, y) >>> plt.show()
设置标题、坐标轴名称、坐标轴范围
如果你在python的shell中运行下面的代码，而shell的默认编码又不是utf-8的话，中文可能仍然会显示为乱码。你可以尝试着把 u’正弦曲线’ 写成 ‘正弦曲线’.decode(‘gbk’)或者‘正弦曲线’.decode(‘utf-8’)
>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from pylab import mpl
>>> mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong']
>>> mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
>>> x = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01)
>>> y = np.sin(x)
>>> plt.plot(x, y)
>>> plt.title(u'正弦曲线', fontdict={'size':20}) # 设置标题
>>> plt.xlabel(u'弧度', fontdict={'size':16}) # 显示横轴名称
>>> plt.ylabel(u'正弦值', fontdict={'size':16}) # 显示纵轴名称
>>> plt.axis([-0.1*np.pi, 2.1*np.pi, -1.1, 1.1]) # 设置坐标轴范围
>>> plt.show()
设置点和线的样式、宽度、颜色
plt.plot函数的调用形式如下：
plot(x, y, color='green', linestyle='dashed', linewidth=1, marker='o', markerfacecolor='blue', markersize=6) plot(x, y, c='g', ls='--', lw=1, marker='o', mfc='blue', ms=6)
- color指定线的颜色，可简写为“c”。颜色的选项为：
- 蓝色： ‘b’ (blue)
- 绿色： ‘g’ (green)
- 红色： ‘r’ (red)
- 墨绿： ‘c’ (cyan)
- 洋红： ‘m’ (magenta)
- 黄色： ‘y’ (yellow)
- 黑色： ‘k’ (black)
- 白色： ‘w’ (white)
- 灰度表示： e.g. 0.75 ([0,1]内任意浮点数)
- RGB表示法： e.g. ‘#2F4F4F’ 或 (0.18, 0.31, 0.31)
- linestyle指定线型，可简写为“ls”。线型的选项为：
- 实线： ‘-’ (solid line)
- 虚线： ‘–’ (dashed line)
- 虚点线： ‘-.’ (dash-dot line)
- 点线： ‘:’ (dotted line)
- 无： ”或’ ‘或’None’
- linewidth指定线宽，可简写为“lw”。
- marker描述数据点的形状
- 点线： ‘.’
- 点线： ‘o’
- 加号： ‘+
- 叉号： ‘x’
- 上三角： ‘^’
- 上三角： ‘v’
- markerfacecolor指定数据点标记的表面颜色，可 简写为“ mfc”。
- markersize指定数据点标记的大小，可 简写为“ ms”。
文本标注和图例
我们分别使用不同的线型、颜色来绘制以10、e、2为基的一组幂函数曲线，演示文本标注和图例的使用。
>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from pylab import mpl
>>> mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong']
>>> mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
>>> x = np.linspace(-4, 4, 200)
>>> f1 = np.power(10, x)
>>> f2 = np.power(np.e, x)
>>> f3 = np.power(2, x)
>>> plt.plot(x, f1, 'r', ls='-', linewidth=2, label='$10^x$')
>>> plt.plot(x, f2, 'b', ls='--', linewidth=2, label='$e^x$')
>>> plt.plot(x, f3, 'g', ls=':', linewidth=2, label='$2^x$')
>>> plt.axis([-4, 4, -0.5, 8])
>>> plt.text(1, 7.5, r'$10^x$', fontsize=16)
>>> plt.text(2.2, 7.5, r'$e^x$', fontsize=16)
>>> plt.text(3.2, 7.5, r'$2^x$', fontsize=16)
>>> plt.title('幂函数曲线', fontsize=16)
>>> plt.legend(loc='upper left')
>>> plt.show()
在绘制图例时，loc用于指定图例的位置，可用的选项有：
- best
- upper right
- upper left
- lower left
- lower right
绘制多轴图
在介绍如何将多幅子图绘制在同一画板的同时，顺便演示如何绘制直线和矩形。我们可以使用subplot函数快速绘制有多个轴的图表。subplot函数的调用形式如下：
subplot(numRows, numCols, plotNum)
subplot将整个绘图区域等分为numRows行 * numCols列个子区域，然后按照从左到右，从上到下的顺序对每个子区域进行编号，左上的子区域的编号为1。如果numRows，numCols和plotNum这三个数都小于10的话，可以把它们缩写为一个整数，例如subplot(323)和subplot(3,2,3)是相同的。subplot在plotNum指定的区域中创建一个轴对象。如果新创建的轴和之前创建的轴重叠的话，之前的轴将被删除。
>>> import matplotlib.pyplot as plt >>> plt.subplot(221) # 两行两列的第1个位置 >>> plt.axis([-1, 2, -1, 2]) >>> plt.axhline(y=0.5, color='b') >>> plt.axhline(y=0.5, xmin=0.25, xmax=0.75, color='r') >>> plt.subplot(222) # 两行两列的第2个位置 >>> plt.axis([-1, 2, -1, 2]) >>> plt.axvline(x=0, ymin=0, linewidth=4, color='r') >>> plt.axvline(x=1.0, ymin=-0.5, ymax=0.5, linewidth=4, color='g') >>> plt.subplot(212) # 两行一列的第2个位置 >>> plt.axis([-1, 2, -1, 2]) >>> plt.axvspan(1.25, 1.55, facecolor='g', alpha=0.5) >>> plt.axhspan(0.25, 0.75, facecolor='0.5', alpha=0.5) >>> plt.show()
常用绘图类型
直方图
用numpy随机生成一个符合正态分布的数据集，统计分段区域内数据的个数。
>>> import numpy as np >>> import matplotlib.pyplot as plt >>> data = np.random.normal(5.0, 3.0, 1000) >>> plt.hist(data) >>> bins = np.arange(-5, 16, 1) >>> plt.hist(data, bins) # 使用自定义的分段区域 >>> plt.show()
散点图
使用plot()绘图时，如果指定样式参数为仅绘制数据点（linestyle=’None’），那么所绘制的就是一幅散列图。这种方法所绘制的点无法单独指定数据点的颜色和大小，而使用scatter()绘制散列图就可以指定每个点的颜色和大小。
plt.scatter函数的调用形式如下：
scatter(x, y, s=None, c=None, marker=None, cmap=None, norm=None, vmin=None, vmax=None, alpha=None, linewidths=None, verts=None, edgecolors=None, hold=None, data=None, **kwargs)
scatter()的前两个参数是数组，分别指定每个点的X轴和Y轴的坐标。s参数指定点的大 小，值和点的面积成正比，它可以是一个数，指定所有点的大小，也可以是数组，分别对每个点指定大小。c参数指定每个点的颜色，可以是数值或数组。这里使用一维数组为每个点指定了一个数值。通过颜色映射表，每个数值都会与一个颜色相对应。默认的颜色映射表中蓝色与最小值对应，红色与最大值对应。当c参数是形状为(N,3)或(N,4)的二维数组时，则直接表示每个点的RGB颜色。marker参数设置点的形状，可以是个表示形状的字符串，也可以是表示多边形的两个元素的元组，第一个元素表示多边形的边数，第二个元素表示多边形的样式，取值范围为0、1、2、3。0表示多边形，1表示星形，2表示放射形，3表示忽略边数而显示为圆形。alpha参数设置点的透明度。facecolors参数为“none”时，表示散列点没有填充色。
>>> import numpy as np >>> import matplotlib.pyplot as plt >>> x = np.random.rand(50) >>> y = np.random.rand(50) >>> area = np.pi * (15 * np.random.rand(50))**2 >>> color = 2 * np.pi * np.random.rand(50) >>> plt.scatter(x, y, s=area, c=color, alpha=0.5, cmap=plt.cm.hsv) >>> plt.show()
梯形图、柱状图、填充图
>>> import numpy as np >>> import matplotlib.pyplot as plt >>> n = np.array([0,1,2,3,4,5]) >>> x = np.linspace(-0.75, 1., 100) >>> plt.subplot(131) >>> plt.step(n, n**2, lw=2) >>> plt.subplot(132) >>> plt.bar(n, n**2, align="center", width=0.5, alpha=0.5) >>> plt.subplot(133) >>> plt.fill_between(x, x**2, x**3, color="green", alpha=0.5) >>> plt.show()
对数坐标
plot()所绘制图表的X-Y轴坐标都是算术坐标。绘制对数坐标图的函数有三个：semilogx()、semilogy()和loglog(),它们分别绘制X轴为对数坐标、Y轴为对数坐标以及两个轴都为对数坐标时的图表。
>>> import numpy as np >>> import matplotlib.pyplot as plt >>> x = np.linspace(0, 3, 100) >>> y = np.power(2, np.power(2,x)) >>> plt.subplot(121) >>> plt.semilogy(x, y , '-r') >>> plt.subplot(122) >>> plt.plot(x,y, '--g') >>> plt.show()
极坐标绘图
极坐标系是和笛卡尔(X-Y)坐标系完全不同的坐标系，极坐标系中的点由一个夹角和一段相对中心点的距离来表示。polar(theta, r, **kwargs)可以直接创建极坐标子图并在其中绘制曲线。也可以使用程序中调用subplot()创建子图时通过设 polar参数为True,创建一个极坐标子图，然后调用plot()在极坐标子图中绘图。
>>> import numpy as np >>> import matplotlib.pyplot as plt >>> theta = np.arange(0, 2*np.pi, 0.02) >>> plt.polar(theta, 1.4*np.cos(5*theta), "--", linewidth=2) >>> plt.polar(theta, 1.8*np.cos(4*theta), linewidth=2) >>> plt.rgrids(np.arange(0.5, 2, 0.5), angle=45) >>> plt.thetagrids([0, 45])thetagridlabel objects>) >>> plt.show() >>>
2D绘图
等值线图
所谓等值线，是指由函数值相等的各点连成的平滑曲线。等值线可以直观地表示二元函数值的变化趋势，例如等值线密集的地方表示函数值在此处的变化较大。matplotlib中可以使用contour()和contourf()描绘等值线，它们的区别是：contourf()所得到的是带填充效果的等值线。
>>> import numpy as np >>> import matplotlib.pyplot as plt >>> y, x = np.ogrid[-2:2:200j, -3:3:300j] >>> z = x * np.exp( - x**2 - y**2) >>> extent = [np.min(x), np.max(x), np.min(y), np.max(y)] >>> plt.subplot(121) >>> cs = plt.contour(z, 10, extent=extent) >>> plt.clabel(cs) <a><a list of 8 text.Text objects> >>> plt.subplot(122) >>> plt.contourf(x.reshape(-1), y.reshape(-1), z, 20) >>> plt.show()</a>
为了更淸楚地区分X轴和Y轴，这里让它们的取值范围和等分次数均不相同.这样得 到的数组z的形状为(200, 300),它的第0轴对应Y轴、第1轴对应X轴。
调用contour()绘制数组z的等值线图，第二个参数为10,表示将整个函数的取值范围等分为10个区间,即显示的等值线图中将有9条等值线。可以使用extent参数指定等值线图的X轴和Y轴的数据范围。
contour()所返回的是一个QuadContourSet对象， 将它传递给clabel()，为其中的等值线标上对应的值。
调用contourf(),绘制将取值范围等分为20份、带填充效果的等值线图。这里演示了另外一种设置X、Y轴取值范围的方法，它的前两个参数分别是计算数组z时所使用的X轴和Y轴上的取样点,这两个数组必须是一维的。
二维数据的平面色彩显示
>>> import numpy as np >>> import matplotlib.pyplot as plt >>> data=np.clip(np.random.randn(5,5),-1,1) >>> plt.subplot(221) >>> plt.imshow(data) >>> plt.subplot(222) >>> plt.imshow(data,cmap=plt.cm.cool) >>> plt.subplot(223) >>> plt.imshow(data,cmap=plt.cm.hot) >>> plt.colorbar() >>> plt.subplot(224) >>> im = plt.imshow(data,cmap=plt.cm.winter) >>> plt.colorbar(im, cmap=plt.cm.winter, ticks=[-1,0,1]) >>> plt.show()
3D绘图
虽然matplotlib主要专注于绘图，并且主要是二维的图形，但是它也有一些不同的扩展，能让我们在地理图上绘图，让我们把Excel和3D图表结合起来。在matplotlib的世界里，这些扩展叫做工具包（toolkits）。工具包是一些关注在某个话题（如3D绘图）的特定函数的集合。
比较流行的工具包有Basemap、GTK 工具、Excel工具、Natgrid、AxesGrid和mplot3d。
mpl_toolkits.mplot3工具包提供了一些基本的3D绘图功能，其支持的图表类型包括散点图（scatter）、曲面图（surf）、线图（line）和网格图（mesh）。虽然mplot3d不是一个最好的3D图形绘制库，但是它是伴随着matplotlib产生的，因此我们对其接口已经很熟悉了。
下面是一个使用plot_surface绘制3d曲面图的例子。
>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> import mpl_toolkits.mplot3d
>>> x, y = np.mgrid[-2:2:50j,-2:2:50j]
>>> z = x*np.exp(-x**2-y**2)
>>> ax = plt.subplot(111,projection='3d')
>>> ax.plot_surface(x,y,z,rstride=2,cstride=1,cmap=plt.cm.coolwarm,alpha=0.8)
>>> ax.set_xlabel('x')
>>> ax.set_ylabel('y')
>>> ax.set_zlabel('z')
>>> plt.show()
三剑客之Scipy
前面已经说过，最初的numpy其实是scipy的一部分，后来才从scipy中分离出来。scipy函数库在numpy库的基础上增加了众多的数学、科学以及工程计算中常用的库函数。例如线性代数、常微分方程数值求解、信号处理、图像处理、稀疏矩阵等等。由于其涉及的领域众多，我之于scipy，就像盲人摸大象，只能是摸到哪儿算哪儿。
插值
一维插值和二维插值，是我最常用的scipy的功能之一，也是最容易上手的。
一维插值和样条插值
下面的例子清楚地展示了线性插值和样条插值之后的数据形态。
>>> import numpy as np
>>> from scipy import interpolate
>>> x = np.arange(0,10)
>>> y = np.exp(-x/3.0)
>>> x
array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
>>> y
array([ 1. , 0.71653131, 0.51341712, 0.36787944, 0.26359714,
0.1888756 , 0.13533528, 0.09697197, 0.06948345, 0.04978707])
>>> f_line = interpolate.interp1d(x, y)
>>> x_new = np.arange(0,9,0.2)
>>> f_line(x_new)
array([ 1. , 0.94330626, 0.88661252, 0.82991879, 0.77322505,
0.71653131, 0.67590847, 0.63528563, 0.5946628 , 0.55403996,
0.51341712, 0.48430958, 0.45520205, 0.42609451, 0.39698698,
0.36787944, 0.34702298, 0.32616652, 0.30531006, 0.2844536 ,
0.26359714, 0.24865283, 0.23370852, 0.21876422, 0.20381991,
0.1888756 , 0.17816754, 0.16745947, 0.15675141, 0.14604335,
0.13533528, 0.12766262, 0.11998996, 0.11231729, 0.10464463,
0.09697197, 0.09147426, 0.08597656, 0.08047886, 0.07498115,
0.06948345, 0.06554417, 0.0616049 , 0.05766562, 0.05372634])
>>> bs = interpolate.splrep(x, y)
>>> interpolate.splev(x_new, bs)
array([ 1. , 0.93571489, 0.8754193 , 0.8189194 , 0.76602135,
0.71653131, 0.67025545, 0.62699994, 0.58657094, 0.54877461,
0.51341712, 0.48031625, 0.44933621, 0.42035284, 0.39324198,
0.36787944, 0.34414628, 0.32194438, 0.30118082, 0.28176271,
0.26359714, 0.24659576, 0.23068846, 0.2158097 , 0.20189393,
0.1888756 , 0.17669225, 0.16529366, 0.15463272, 0.1446623 ,
0.13533528, 0.1266067 , 0.11844022, 0.11080172, 0.10365702,
0.09697197, 0.09071432, 0.0848594 , 0.07938446, 0.07426673,
0.06948345, 0.06501185, 0.06082918, 0.05691267, 0.05323955])
将原始数据以及线性插值和样条插值之后的数据绘制在一起，效果会比较明显：
代码如下：
import numpy as np from scipy import interpolate import matplotlib.pyplot as plt from pylab import mpl mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong'] # 指定默认字体 mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解决保存图像时'-'显示为方块的问题 x = np.arange(0,10) y = np.exp(-x/3.0) x_new = np.arange(0,9,0.2) f_linear = interpolate.interp1d(x, y) bs = interpolate.splrep(x, y) plt.plot(x, y, "o", label=u"原始数据") plt.plot(x_new, f_linear(x_new), label=u"线性插值") plt.plot(x_new, interpolate.splev(x_new, bs), label=u"B-spline插值") plt.legend() plt.show()
特别说明：样条插值附带了很多默认参数，下面是简单的说明。详情请自行搜索。
scipy.interpolate.splrep(x, y, w=None, xb=None, xe=None, k=3, task=0, s=None, t=None, full_output=0, per=0, quiet=1) # 参数s用来确定平滑点数，通常是m-SQRT(2m),m是曲线点数。如果在插值中不需要平滑应该设定s=0。splrep()输出的是一个3元素的元胞数组（t,c,k）,其中t是曲线点，c是计算出来的系数，k是样条阶数，通常是3阶，但可以通过k改变。 scipy.interpolate.splev(x, tck, der=0) # 其中的der是进行样条计算是需要实际计算到的阶数，必须满足条件der<=k
二维插值
在一个房间的地板上按九宫格的位置放置9个温度传感器，测得温度如下：
>>> import numpy as np
>>> temp = np.random.randint(20,30,(3,3))
>>> temp
array([[21, 29, 21],
[24, 27, 20],
[25, 28, 22]])
在不增加传感器的前提下，我们采用二维插值的方法，可以使得数据变化较为平滑：
>>> import numpy as np
>>> temp = np.random.randint(20,30,(3,3))
>>> temp
array([[21, 29, 21],
[24, 27, 20],
[25, 28, 22]])
>>> x = np.arange(3)
>>> y = np.arange(3)
>>> ip = interpolate.interp2d(x,y,temp)
>>> x_new = np.linspace(0,2,9)
>>> x_new = np.linspace(0,2,5)
>>> y_new = np.linspace(0,2,5)
>>> temp_new = ip(x_new,y_new)
>>> temp_new
array([[ 21. , 25. , 29. , 25. , 21. ],
[ 22.5 , 25.25, 28. , 24.25, 20.5 ],
[ 24. , 25.5 , 27. , 23.5 , 20. ],
[ 24.5 , 26. , 27.5 , 24.25, 21. ],
[ 25. , 26.5 , 28. , 25. , 22. ]])
下图是根据原始数据和插值数据绘制的该房间温度平面图。
拟合
在工作中，我们常常需要在图中描绘某些实际数据观察的同时，使用一个曲线来拟合这些实际数据。所谓拟合，就是找出符合数据变化趋势的曲线方程，或者直接绘制出拟合曲线。
使用numpy.polyfit拟合
下面这段代码，基于Numpy模块，可以直接绘制出拟合曲线，但我无法得到曲线方程（尽管输出了一堆曲线参数）。这是一个值得继续深入研究的问题。
#! python2
# coding: utf-8
import numpy
import pylab
def plot_polynomail_fit(y, *deg):
'''''
这个函数一次只拟合一组数据。但是可以对这一组数据同时拟合多条曲线并显示
y是一个list，存放的是需要拟合的数据
*deg是一个元组，长度不定,里面存放拟合的次数，可以对一组数据拟合出多条直线进行比较
'''
x = xrange(len(y))
COLOR = ['c','m','y','k','r','p','o','g','b']
temp = []
numOfLineToFit = len(deg) # 需要拟合的次数列表
for index,item in enumerate (deg):
param = numpy.polyfit(x,y,item) # 曲线的参数
equation = numpy.poly1d(param) # 曲线方程
temp.extend(param[:]) # 提取曲线参数
print param
pylab.subplot(numOfLineToFit,1,index+1)
pylab.plot(x, equation(x),'%s--'%COLOR[index])
pylab.plot(x,y,'b--')
pylab.show()
return temp
if __name__ == '__main__':
y = [17, 19, 21, 28, 33, 38, 37, 37, 31, 23, 19, 18]
plot_polynomail_fit(y, 2, 3, 4)
3个拟合结果显示在下图中。
使用scipy.optimize.optimize.curve_fit拟合
scipy提供的拟合，貌似需要先确定带参数的曲线方程，然后由scipy求解方程，返回曲线参数。我们还是以上面的一组数据为例使用scipy拟合曲线。
>>> import numpy as np >>> import matplotlib.pyplot as plt >>> from scipy import optimize >>> x = np.arange(1,13,1) >>> y = np.array([17,19,21,28,33,38,37,37,31,23,19,18 ]) >>> plt.plot(x, y) [<matplotlib.lines.Line2D object at 0x04799D10>] >>> plt.show()
可以看出，曲线近似正弦函数。构建函数y=a*sin(x*pi/6+b)+c，使用scipy的optimize.curve_fit函数求出a、b、c的值：
>>> def fmax(x,a,b,c):
return a*np.sin(x*np.pi/6+b)+c
>>> fita, fitb = optimize.curve_fit(fmax, x, y, [1,1,1])
>>> print fita
[ 10.93254951 -1.9496096 26.75 ]
>>> xn = np.arange(1,13,0.1)
>>> plt.plot(x, y)
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x04B160B0>]
>>> plt.plot(xn, fmax(xn, fita[0],fita[1],fita[2]))
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x04B16510>]
>>> plt.show()
求解非线性方程（组）
在数学建模中，需要对一些稀奇古怪的方程（组）求解，Matlab自然是首选，但Matlab不是免费的，scipy则为我们提供了免费的午餐！scipy.optimize库中的fsolve函数可以用来对非线性方程（组）进行求解。它的基本调用形式如下：
fsolve(func, x0)
func(x)是计算方程组误差的函数，它的参数x是一个矢量，表示方程组的各个未知数的一组可能解，func返回将x代入方程组之后得到的误差；x0为未知数矢量的初始值。
我们先来求解一个简单的方程：sin(x)−cos(x)=0.2
>>> from scipy.optimize import fsolve
>>> import numpy as np
>>> def f(A):
x = float(A[0])
return [np.sin(x) - np.cos(x) - 0.2]
>>> result = fsolve(f, [1])
array([ 0.92729522])
>>> print result
[0.92729522]
>>> print f(result)
[2.7977428707082197e-09]
哈哈，易如反掌！再来一个方程组：
4x2−2sin(yz)=0
5y+3=0
yz−1.5=0
>>> from scipy.optimize import fsolve
>>> import numpy as np
>>> def f(A):
x = float(A[0])
y = float(A[1])
z = float(A[2])
return [4*x*x - 2*np.sin(y*z), 5*y + 3, y*z - 1.5]
>>> result = fsolve(f, [1, 1, 1])
>>> print result
[-0.70622057 -0.6 -2.5 ]
>>> print f(result)
[-9.1260332624187868e-14, 0.0, 5.329070518200751e-15]
数值积分
数值积分是对定积分的数值求解，例如可以利用数值积分计算某个形状的面积。我们知道，半径为1的圆的方程可写成：
x2+y2=1
下面让我们来考虑一下如何计算半径为1的半圆的面积，根据圆的面积公式，其面积应该等于PI/2。单位半圆曲线可以用下面的函数表示：
y=1−x2−−−−−√
我们先定义一个计算根据x计算y的函数：
>>> def half_circle(x):
return (1-x**2)**0.5
经典微分法
下面的程序使用经典的分小矩形计算面积总和的方式，计算出单位半圆的面积：
>>> N = 10000 >>> x = np.linspace(-1, 1, N) >>> dx = 2.0/N >>> y = half_circle(x) >>> dx * np.sum(y[:-1] + y[1:]) # 面积的两倍 3.1412751679988937
使用定积分求解函数
如果我们调用scipy.integrate库中的quad函数的话，将会得到非常精确的结果：
>>> from scipy import integrate >>> pi_half, err = integrate.quad(half_circle, -1, 1) >>> pi_half*2 3.1415926535897984
图像处理
在scipy.misc模块中，有一个函数可以载入Lena图像——这副图像是被用作图像处理的经典示范图像。我只是简单展示一下在该图像上的几个操作。
- 载入Lena图像，并显示灰度图像
- 应用中值滤波扫描信号的每一个数据点，并替换为相邻数据点的中值
- 旋转图像
- 应用Prewitt滤波器（基于图像强度的梯度计算）
>>> from scipy import misc
>>> from scipy import ndimage
>>> img = misc.lena().astype(np.float32)
>>> plt.subplot(221)
>>> plt.title('Original Image')
>>> plt.imshow(img, cmap=plt.cm.gray)
>>> plt.subplot(222)
>>> plt.title('Median Filter')
>>> filtered = ndimage.median_filter(img, size=(42,42))
>>> plt.imshow(filtered, cmap=plt.cm.gray)
>>> plt.subplot(223)
>>> plt.title('Rotated')
>>> rotated = ndimage.rotate(img, 90)
>>> plt.imshow(rotated, cmap=plt.cm.gray)
>>> plt.subplot(224)
>>> plt.title('Prewitt Filter')
>>> filtered = ndimage.prewitt(img)
>>> plt.imshow(filtered, cmap=plt.cm.gray)
>>> plt.show()
后记
这篇博文自2016年9月初动笔，断断续续写了5个多月。延宕这么久，除了自身懒惰的原因外，主要是因为MSN这个主题涉及的内容太过繁杂，又极其晦涩，无论怎么努力，总怕挂一漏万、贻笑大方。
现在好了，终于写完了。倘若哪位看官发现了谬误，请自行修改，顺便通知我一声；若因此文受益而想约饭、约酒，请发邮件至：xufive@gmail.com
相关内容
- 暂无相关文章
评论关闭